随机试验和随机事件

一 基本概念

1. 随机试验（Random Experiment）： 随机试验是指在相同的条件下可以重复进行的实验，每次实验的结果是不确定的，即具有随机性质。例如，掷一枚骰子、抽一张扑克牌、测量某物理现象的实验等都可以是随机试验。
2. 基本事件（Sample Space）： 在随机试验中，所有可能的结果组成的集合称为基本事件。这个集合通常用符号$*S*$表示，称为样本空间。样本空间包含了试验的所有可能结果。例如，掷一枚六面的骰子，样本空间就是6。
3. 事件（Event）： 事件是样本空间的子集，即样本空间中的一些结果组成的集合。事件通常用大写字母表示，比如$*A*$、$*B*$等。事件可以包括一个或多个基本事件。例如，掷一枚骰子，事件$*A*$可以表示出现偶数，对应的基本事件为6。
4. 事件：有一个或若干个基本事件组成的随机试验的一个结果。通常用英文大写字母$A, B, C$等表示，或$\{一种叙述\}$来表示。
5. 必然事件和不可能事件：
   1. 必然事件：在随机试验中，必然会发生的事件，通常用$Ω$或$S$表示
   2. 不可能事件：在随机试验中不可能发生的事件。通常用$\phi$表示

二 事件的运算

事件与集合一一对应 $S$：空间 事件：集合 基本事件：空间中的“点” $\therefore$ 事件运算转到集合运算

1. 子事件 $A$发生蕴含事件B发生，称事件$A$为事件$B$的子事件，记为$A\sub B$ 若$A\sub B,\ B\sub A$则称$A=B$

2. 事件的和 $\{事件A发生或事件B发生\}$这个事件称为事件A与事件B的和，记为$A\cup B(A+B)$ $A+B=\{A,B中至少发生一个\}$ 推广：$n$个事件的和 $\{A_1发生或A_2发生…或A_n发生\}=\{A_1,A_2,…,A_n至少有一个发生\}$ 称为事件$A_1,A_2,…,A_n$的和，记为$A_1\cup A_2\cup ···\cup A_n=\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n}A_i$

3. 事件的积 事件$\{A,B同时发生\}$称为事件$A$与$B$的积，记为$A\cap B$或$A·B$或$AB$ 推广：事件$\{A_1,A_2,…,A_n同时发生\}$ 称为事件$A_1,…,A_n$的积，记为$A_1\cap A_2 … \cap A_n$（或者$A_1A_2…A_n$） 或$\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}A_i$

4. 对立事件：事件$\{A不发生\}$称为事件$A$的对立事件，记为$\bar A$或$A^c$

   $A\cap\bar A=\phi$

   $A\cup\bar A= S\\ A_1\cup A_2\cup…\cup A_n\Rightarrow \{A_1\cup A_2\cup…\cup A_n中至少一个发生\}^c\Rightarrow \bar A_1\cap \bar A_2\cap…\cap\bar A_n$

   $B=\{A_1,A_2,…,A_n中至少有k个事件发生\}$

   • $B$的对立事件

     对于事件 $B={A_1,A_2,\ldots,A_n}$ 中至少有 $k$ 个事件发生的情况，其对立事件是至多有 $k-1$ 个事件发生的情况。我们可以表示对立事件为 $\overline{B}$。

     在这种情况下，$\overline{B}$ 表示的是至多有 $k-1$ 个事件发生的情况。换句话说，$\overline{B}$ 是事件 $B$ 的补集。

     数学上，我们可以使用概率的补集公式来表示对立事件：

     $\overline{B}=1-P(B)$

     其中，$P(B)$是事件 $B$ 发生的概率。

     请注意，这里的概率计算基于具体的事件 $A_1,A_2,\ldots,A_n$ 的概率分布情况。如果已知每个事件发生的概率，可以使用这些概率来计算 $P(B)$ 和 $\overline{B}$ 的概率。

   对偶公式：

$\overline{A_{1}\cup A_{2}\cup\cdots \cup A_{n}}=\overline{A_{1}}\cap\overline{A_{2}}\cap\cdots \cap\overline{A_{n}}\\ \overline{A_{1}\cap A_2\cap\cdots \cap A_{n}}={\overline A_{1}\cup \overline A_{2}\cup \cdots \cup \overline A_{n}}$

• 德摩根律

  1. 德摩根定律

     德摩根定律有多种形式，在集合中的形式如下：

     $$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$$ $$\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline{B}$$

     我们可以用生活中的例子也来理解该定理，假设某学校举办运动会，$A$代表“去跑步”的同学，$B$ 代表“去跳远”的同学，$A\cup B$ 表示“去跑步或跳远”的同学，所以有：

     $\underbrace{\overline{A\cup B}}_{\large “不去跑步或跳远”}=\underbrace{\overline{A}\cap\overline{B}}_{\large “既不去跑步也不去跳远”}$

     而$A\cap B$ 表示“既跑步又跳远”,所以有：

     $\underbrace{\overline{A\cup B}}_{\large “不去跑步或跳远”}=\underbrace{\overline{A}\cap\overline{B}}_{\large “既不去跑步也不去跳远”}$

  2. Venn 图

     也可以通过 Venn 图来理解德摩根定律，首先是第一个公式$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$:

     

     然后是第二个公式$\overline{A\cap B}=A\cup\overline{B}$:

     

$A\cup B\cup C =A\cup\bar{A}B\cup\bar{A}\bar{B}C$

1. 事件的差

   $\{A发生，B不发生\}$这一事件称为$A$与$B$的差，记为$A\overline B$或$A-B$

   $A\cup B=(A-B)\cup AB\cup (B-A)=(A\overline{B})+(AB)+(B\overline{A})$