概率的定义及性质

$Probability$ $P$或$Prob$

（一）概率的定义

概率是随机事件发生大小的可能性的数字表示，即$Prob$是事件的“函数”（算随机事件的概率）

函数：数→数（$R_m\rightarrow R_n$） $y=f(x_1,x_2,...,x_m)$

泛函：函数→实数（自变量不是数，是函数）

泛函的准确定义是，赋范空间到赋范空间上的映射，但是有时候泛函也可以在级数与级数之间定义

1 古典$Prob$的定义

设$S$为样本空间

假定：

（1）$S$中只有有限个数基本事件，记为$N$（有限性）

（2）每个基本事件发生的可能性相等（等可能性）

如果$S$中的事件，$A$含有$m$个基本事件，那么就定义A的Prob概率$\displaystyle P(A)=\frac{m}{N}$

• 问题
  1. 样本空间是什么
  2. 事件A怎么表达出来

2 概率的统计定义

$A$，独立重复做$n$次试验，若在这$n$次试验中，事件$A$发生$m$次，称$\displaystyle f=\frac{m}{n}$为$A$的频率，当$n\Rightarrow\infty$，$m$在某个值附近，那么这个值作为事件$A$的概率，记为$p$

3 主观概率的定义