4 概率

定义1 概率的统计性定义：

当试验的次数增加时，随机事件$A$发生的频率的稳定值$p$称为概率.记为$P(A)=p$.

定义2 (概率的公理化定义)：

设随机试验对应的样本空间为$S$。

对每个事件$A$，定义$P(A)$满足:

1. 非负性：$P(A)\geq0$
2. 规范性：$P(S)=\mathrm{l}$
3. 可列可加性:$A_1,A_2,...$两两互斥，即$A_{i}A_{j}=\varnothing,i\neq j,$ 则 $\displaystyle P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)$

称$P(A)$为事件$A$的概率

性质：

1. $P(\varnothing)=0$

2. $P(A)=1-P(\overline{A})$

3. （有限可加性） $\begin{aligned}&A_1,A_2,\ldots,A_n,A_iA_j=\emptyset,i\neq j,\\&\Rightarrow P(\bigcup_{i=1}^nA_i)=\sum_{i=1}^nP(A_i)\end{aligned}$

4. 若$A\subset B$，则有$P(B-A)=P(B)-P(A)$

   $$\begin{aligned}&\text{证:} B=A\cup(B-A)\text{ 不交并}  \\&\Rightarrow  P(B)=P(A)+P(B-A)  \\&\Rightarrow  P(B-A)=P(B)-P(A)  \\&\Longrightarrow  P(B)\geq P(A),\text{于是有}\quad P(A)\leq P(S)=1. \end{aligned}$$

   $\begin{matrix}\text{一般情况下}&P(B-A)=&P(B)-P(AB)\end{matrix}$

5. 概率的加法公式

   $P\left(A\bigcup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)$