4 概率

定义1 概率的统计性定义：

当试验的次数增加时，随机事件AA发生的频率的稳定值pp称为概率.记为P(A)=pP(A)=p.

定义2 (概率的公理化定义)：

设随机试验对应的样本空间为SS。

对每个事件AA，定义P(A)P(A)满足:

  1. 非负性：P(A)≥0P(A)\geq0
  2. 规范性：P(S)=lP(S)=\mathrm{l}
  3. 可列可加性:A1,A2,...A_1,A_2,...两两互斥，即AiAj=∅,i≠j,A_{i}A_{j}=\varnothing,i\neq j, 则 P(⋃i=1∞Ai)=∑i=1∞P(Ai)\displaystyle P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)

称P(A)P(A)为事件AA的概率

性质：

  1. P(∅)=0P(\varnothing)=0

  2. P(A)=1−P(A‾)P(A)=1-P(\overline{A})

  3. （有限可加性） A1,A2,…,An,AiAj=∅,i≠j,⇒P(⋃i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)\begin{aligned}&A_1,A_2,\ldots,A_n,A_iA_j=\emptyset,i\neq j,\\&\Rightarrow P(\bigcup_{i=1}^nA_i)=\sum_{i=1}^nP(A_i)\end{aligned}

  4. 若A⊂BA\subset B，则有P(B−A)=P(B)−P(A)P(B-A)=P(B)-P(A)

    证:B=A∪(B−A) 不交并 ⇒ P(B)=P(A)+P(B−A) ⇒ P(B−A)=P(B)−P(A) ⟹ P(B)≥P(A),于是有P(A)≤P(S)=1. \begin{aligned}&\text{证:} B=A\cup(B-A)\text{ 不交并}  \\&\Rightarrow  P(B)=P(A)+P(B-A)  \\&\Rightarrow  P(B-A)=P(B)-P(A)  \\&\Longrightarrow  P(B)\geq P(A),\text{于是有}\quad P(A)\leq P(S)=1. \end{aligned}

    一般情况下P(B−A)=P(B)−P(AB)\begin{matrix}\text{一般情况下}&P(B-A)=&P(B)-P(AB)\end{matrix}

  5. 概率的加法公式

    P(A⋃B)=P(A)+P(B)−P(AB)P\left(A\bigcup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)

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