8 贝叶斯公式

贝叶斯公式（Bayes' Theorem）是概率论中的一条基本定理，用于计算在给定一些先验信息的情况下，某一事件的后验概率。贝叶斯公式的表达式如下：

$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$

其中：

• $P(A|B)$ 是在事件 B 发生的条件下事件 A 的后验概率（posterior probability）。
• $P(B|A)$是在事件 A 发生的条件下事件 B 的概率，称为似然（likelihood）。
• $P(A)$ 是事件 A 的先验概率（prior probability），即在考虑任何新的信息之前 A 发生的概率。
• $P(B)$是事件 B 的边际概率，即在任何先验信息下 B 发生的概率。

贝叶斯公式的应用包括机器学习、统计学、人工智能等领域。它允许我们通过考虑先验信息来更新我们对某一事件的信念或概率。特别是在分类问题中，贝叶斯公式可以用于计算给定观测数据后，某一类别的后验概率，从而进行更准确的分类。

定理1.3 $A_{1}…A_{n}$ 完备 B $P(A_{2})>0\quad P(B)>0$

$\displaystyle P(A_{k}|B)=\frac{P(A_{k})P(B|A_{k})}{\sum_{t=1}^{\pi}P(A_{t})P(B|A_{t})}=\frac{P(A_{k}B)}{P(B)}$

$P(A_{i})$ 先验

$P(A_{i}|B)$ 后验

例2：发病率0.0004

患者有病（99%）没病（1%）

健康人有病（0.1%）没病（99.9%）

检验有病，真有病的概率

解：$A$：患者 $\overline{A}$：健康人$B$：检验有病

$\begin{aligned} P(A)&=0.0004,\quad P(\overline{A})=0.9996 \\ P(B|A)&=0.99,\quad P(B|\overline{A})=0.001 \\ \\ P(B)&=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A}) \\ &=0.0004\times0.99+0.9996\times0.001 \\ &=0.0013956 \end{aligned}$

$$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}=\frac{0.0004\times0.99}{0.0017956}=0.284$$