9 事件的独立性

定义：$A$的概率不受$B$的发生与否的影响

$P\left(A|B\right)=P\left(A\right)$

定理：

$P(A)>0\ \ P(B)>0\\A.B独立\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)$

证明：

充分性：$P(AB)=P(A)P(B).$

$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A)P(B)}{P(B)}=P(A)$

必要性：$A.B$独立

$P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B)$

补：$P(A)=0$或$P(B)=0$

设$P(A)=0$

$AB\sub A\ \ \ \ \ 0\leq P(AB)\leq P(A)=0\ \ \ \ \ P(AB)=0=P(A)P(B)=0$

定义：$P(AB)=P(A)P(B)$ $A.B$独立

$\phi,\Omega$与任意事件$A$独立

$\phi$与$A$ $\begin{aligned}P(\phi{A})=P(\phi)=0\\P(\phi)P(A)=0\end{aligned}$

$\Omega$与$A$ $\begin{aligned}P(\Omega A)=P(A)\\P(\Omega)P(A)=P(A)\end{aligned}$

定理：

$(1)A.B独立，A与\overline{B}，\overline{A}与B，\overline{A}与\overline{B}独立$

$(2)P(A)=0或P(A)=1,A\text{与任事件独立}$

1. $P(A\overline{B})=P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(\overline{B})$
2. $P(A)=0，AB\sub A，0\leq P(AB)\leq P(A)=0，P(AB)=0=P(A)P(B)=0$ $P(A)=1，P(\overline{A})=0，\overline{A}与B独立，A与B独立$

注意：

$P(A-B)=P(A-AB)$是把$A$中的$AB$交集减掉

独立：从发生的可能性上解释。当两个事件的发生与另一个事件的发生无关时，我们称这两个事件是独立的。

互不相容：$AB=\phi$。当两个事件不可能同时发生时，我们称这两个事件是互不相容的，也称为互斥事件。

$P(A)>0,\ P(B)>0$

独立与互不相容不同时成立

1. $A，B$独立$P(AB)=P(A)P(B)>0$

定义：$P(AB)=P(A)P(B)$ $AB$独立

$A, B,C$独立：

1. $P(AB)=P(A)P(B)$
2. $P\left(BC\right)=P\left(B\right)P\left(C\right)$
3. $P(AC)=P(A)P(C)$
4. $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$

例题

$P(A+B)=0.9\ \ \ \ P(A)=0.4$

1. $A、B$互不相容

   $AB=\phi$，$P(AB)=0$

   $P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

   $0.9=0.4+P(B)\ \ \ \ \ \ P(B)=0.5$

2. $A，B$独立

   $P(AB)=P(A)P(B)$

   $P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)$

   $0.9=0.4+P(B)-0.4P(B)$

   $P(B)=\frac{5}{6}$