9 事件的独立性

事件的独立性

定义： $A$ 的概率不受 $B$ 的发生与否的影响

$P\left(A|B\right)=P\left(A\right)$

定理：

$P(A)>0\ \ P(B)>0\\A.B独立\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)$

证明：

充分性： $P(AB)=P(A)P(B).$

$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A)P(B)}{P(B)}=P(A)$

必要性： $A.B$ 独立

$P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B)$

补： $P(A)=0$ 或 $P(B)=0$

设 $P(A)=0$

$AB\sub A\ \ \ \ \ 0\leq P(AB)\leq P(A)=0\ \ \ \ \ P(AB)=0=P(A)P(B)=0$

定义： $P(AB)=P(A)P(B)$ $A.B$ 独立

$\phi,\Omega$ 与任意事件 $A$ 独立

$\phi$ 与 $A$ $\begin{aligned}P(\phi{A})=P(\phi)=0\\P(\phi)P(A)=0\end{aligned}$

$\Omega$ 与 $A$ $\begin{aligned}P(\Omega A)=P(A)\\P(\Omega)P(A)=P(A)\end{aligned}$

定理：

$(1)A.B独立，A与\overline{B}，\overline{A}与B，\overline{A}与\overline{B}独立$

$(2)P(A)=0或P(A)=1,A\text{与任事件独立}$

$P(A\overline{B})=P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(\overline{B})$
$P(A)=0，AB\sub A，0\leq P(AB)\leq P(A)=0，P(AB)=0=P(A)P(B)=0$ $P(A)=1，P(\overline{A})=0，\overline{A}与B独立，A与B独立$

注意：

$P(A-B)=P(A-AB)$ 是把 $A$ 中的 $AB$ 交集减掉

独立：从发生的可能性上解释。当两个事件的发生与另一个事件的发生无关时，我们称这两个事件是独立的。

互不相容： $AB=\phi$ 。当两个事件不可能同时发生时，我们称这两个事件是互不相容的，也称为互斥事件。

$P(A)>0,\ P(B)>0$

独立与互不相容不同时成立

定义： $P(AB)=P(A)P(B)$ $AB$ 独立

$A, B,C$ 独立：

例题

$P(A+B)=0.9\ \ \ \ P(A)=0.4$