例1：一个家庭中有两个小孩，已知至少一个是女孩，问两个都是女孩的概率是多少？（假定生男生女是等可能的）

解：由题意，样本空间为

$\{ ( \textbf{兄，弟}) , (兄，妹) , (姐，弟) , (姐，妹) \}$

$\{(兄，妹),(姐，弟),(姐，妹)\}$

${B=\{(\text{姐,妹})\}}$

由于事件$A$已经发生，所以这时试验的所有可能结果只有三种，而事件$B$包含的基本事件只占其中的一种， 所以有

$${P(B\mid A)=}\frac13$$

$P(B|A)\text{表示}A\text{发生的条件下},B\text{发生的条件概率}.$

在这个例子中, 若不知道事件$A$发生，则事件$B$发生的概率为${P(B)=\frac14}$

这里$P(B)\neq P(B\mid A)$

其原因在于事件$A$的发生改变了样本空间，使它由原来的$S$缩减为新的样本空间$S_{_A}=A$

条件概率的图示分析：

$$P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$

理解为$B$在$A$中所占的比例

一、条件概率定义

$${P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}},\quad P(A)\neq0$$

这个式子 $P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$ 就是用联合概率 $P(AB)$ 除以先验概率 $P(A)$，得到在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率。这是条件概率的一般定义方式，表达了在已知或考虑事件 A 发生的情况下，事件 B 的相对概率。

条件概率$P(B|A)$是在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率。在这种情况下，我们关心的是 A 和 B 同时发生的概率相对于 A 发生的概率的比例，因此我们使用了$P(AB)/P(A)$。

性质：${P\left(\bullet\mid A\right)}$是概率

1. 非负性：$P(B\mid A)\geq0;$
2. 规范性：$P(S\mid A)=1;$
3. 可列可加性：$B_1,B_2,\ldots,B_iB_j=\varnothing,i\neq j,$

则$\displaystyle P(\bigcup_{i=1}^\infty B_i\mid A)=\sum_{i=1}^\infty P(B_i\mid A).$

$\begin{aligned} &P(\bullet\mid A)\textbf{具有概率的所有性质}. \\ &\textbf{例如:}P(B\mid A)=1-P(\overline{B}\mid A) \\ &\begin{aligned}P(B\cup C\mid A)=P(B\mid A)+P(C\mid A)-P(BC\mid A)\end{aligned} \\ &\begin{aligned}B\supset C\Rightarrow P(B\mid A)\geq P(C\mid A)\end{aligned} \end{aligned}$

例2：对某地区调查了1439人,研究吸烟与患呼吸道疾病之间的关系.数据如右

解：在这1439人中随机选一人，设$A$表示吸烟，$B$表示患病

$\begin{aligned}\text{则}P(A)=&\frac{725}{1439}=0.504,\\P(B)=&\frac{394}{1439}=0.274,\end{aligned}$

$\begin{gathered}P(AB)=320/1439=0.222, \\P(B\mid A)=320/725=0.441, \\P(B\mid\overline{A})=74/714=0.104. \end{gathered}$

二、乘法公式

当下面的条件概率都有意义时：

$\begin{aligned}&\begin{aligned}P(AB)=P(A)\cdot P(B\mid A)=P(B)\cdot P(A\mid B)\end{aligned} \\&\begin{aligned}P(ABC)=P(A)P(B\mid A)P(C\mid AB)\end{aligned} \\&P(A_1A_2\cdots A_n)= \\&P(A_1)P(A_2\mid A_1)P(A_3\mid A_1A_2)\cdotp\cdotp\cdotp P(A_n\mid A_1\cdotp\cdotp\cdotp A_{n-1})\end{aligned}$

$\begin{gathered}\textbf{例3:}P(A)=1/4,P(B\mid A)=1/3,P(A\mid B)=1/2,\\\textbf{求 }P(A\cup B),P(\bar{A}\mid A\cup B).\end{gathered}$

$\displaystyle \begin{aligned}\textbf{解:}&P(AB)=P(A)P(B\mid A)=1/12.\\&P(AB)=P(A\mid B)P(B)\Rightarrow P(B)=1/6\end{aligned}$

$\displaystyle P(A\cup B)=\frac16+\frac1{12}+\frac1{12}=\frac13=\frac14+\frac16-\frac1{12}$

$\displaystyle P(\overline{A}\mid A\cup B)=1-P(A\mid A\cup B)=1-\frac{1/4}{1/3}=\frac14.$

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例4：一盒中有5个红球，4个白球，采用不放回抽样，每次取一个，取3次:

(1)求前两次中至少有一次取到红球的概率;

(2)已知前两次中至少有一次取到红球，求前两次中恰有一次取到红球的概率;

(3)求第1，2次取到红球第3次取到白球的概率

解：令$A_{i}=\{第i次取到红球\}$，$i=1,2,3$

$B=\{前两次至少有一次取到红球\}$

$C=\{前两次恰有一次取到红球\}$

(1)$P(B)=1-P(\overline{B})=1-P(\overline{A}_{1})P(\overline{A}_{2}\Big|\overline{A}_{1})=1-\frac{4}{9}\times\frac{3}{8}=\frac{5}{6}.$

(2)$P(C\big|B)=1-P(\overline{C}\big|B)=1-\frac{P(B\overline{C})}{P(B)}=1-\frac{P(A_{1}A_{2})}{P(B)}=\frac{2}{3}.$

(3)$P(A_{1}A_{2}\overline{A}_{3})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(\left.\overline{A}_{3}\right|A_{1}A_{2})=\frac{5}{9}\times\frac{4}{8}\times\frac{4}{7}=\frac{10}{63}.$

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例5: 某人参加某种技能考核，已知第1次参加能通过的概率为60%:若第1次未通过，经过努力，第2次能通过的概率为70%;若前二次未通过，则第3次能通过的概率为80%。求此人最多3次能通过考核的概率。

解：令$A_{i}=\{第i次通过考核\}，i=1,2,3$

$A=\{最多三次通过考核\}$

则$\overline{A}=\overline{A}_1\overline{A}_2\overline{A}_3$

$\begin{aligned}P(A)& =1-P(\overline{A})=1-P(\overline{A}_{1}\overline{A}_{2}\overline{A}_{3})  \\&=1-P(\overline{A}_{1})P(\overline{A}_{2}\mid\overline{A}_{1})P(\overline{A}_{3}\mid\overline{A}_{1}\overline{A}_{2}) \\&=1-0.4\times0.3\times0.2=0.976.\end{aligned}$

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宋浩课程补充

定义：$\Omega$样本空间，$A,B$两个事件$P(B)>0$，在$B$已经发生的条件下$A$发生的概率，$A$对$B$的条件概率$P(A|B)$

$P(A)$无条件概率$→$样本空间$\Omega$

$P(A|B)$条件概率$\rightarrow B=\Omega_{B}$

1. $\displaystyle P(A|B)=\frac{n_{AB}}{n_B}$
2. $\displaystyle P(A|B)=\frac{n_{AB/n}}{n_{B/n}}=\frac{P(AB)}{P(B)}$

$(1)P(A|B)\geq0$

$(2)P\left(\Omega|B\right)=1$

$(3)A,A_{2}\cdots A_{n}不相容\\ \displaystyle P(\sum_{i=1}^{\infty}A_{i}|B)=\sum_{i=1}^{\infty}P(B_{i}|B)$

乘法公式

$P(A|B)=\frac{P(B|B)}{P(B)}\ \ \ \textcircled{1}P(AB)=P(B)P(A|B)$

$P(B/A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\ \ \ \textcircled{2}P(AB)=P(B)P(B|A)$

$P(A)>0\ \ \ \ \ P(B)>0$

$P(A_{1}A_{2}\cdot A_{n})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})\cdots P(A_{n}|A_{1}\cdot A_{n-1})$

$P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)$

例：（传染病模型）$a$红，$b$黑，放入$c$个颜色相同的球

三次都是红色

解：$A_1,A_2,A_3$表示1，2，3次摸红

$\begin{aligned}P(A_{1}A_{2}A_{3})&=p(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}|A_{2})\\&=\frac{a}{a+b}\frac{a+c}{a+b+c}\frac{a+2c}{a+b+2c}\end{aligned}$ $\ \ \ \ \begin{aligned}c&=0\ 放回.\\c&=-1\ 不放回\\c&>0.\end{aligned}$